２０１６年７月
複素空間の考察の概要
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ハミルトンは複素数の次元を増やし、４元数間の関数を考えた。 この考えとは違い、２つの複素平面から２つの複素平面への関数があり、その関数の表現方法により複素数の次元を増やす。
 とする。
 による演算が定義できる。特に により が成り立つ。
 も成り立つ。 と表現し、 の演算を定義する。
 または となる条件を満たさなければ、四則演算・交換法則・結合法則・分配法則すべてが成り立つ。 ならば、 と表現できる。絶対値が  と定義できて、 を満たす が存在する。 または となる条件を満たさなければ、 と表現できる。絶対値が  と定義できて、 を満たす が存在する。逆に  より、 または ならば となり、乗法・除法が成り立たなくなるのがわかる。双曲線関数の性質   より、  と表記する。 と表記できる。複素微分  が、関数 により に対応するとき、 とする。
 または が成り立たない点とすると、微分が定義できる。点 の各要素 が の関数 で表現できるとする。つまり、
 とする。 が成り立つ。Cauchy-Riemannの関係式の拡張になる。   または が成り立たなければ、逆関数が存在し、 とおくと、
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