∫ydx と ∫xdy との関係
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[はじめに]
98年5月に下記のような式を発見しましたのでお知らせします。発見といっても、たまたまボー・・としていたら、関数の積分と逆関数の積分との和になんらかの関係がある、とアイデアが浮かんだだけの、レベルの低い式です。ちょっとした発見であって、大発見とは思っていません。当然、これで論文を作ろう、などとは考えられません。 [式] y=f(x)をxy平面上で定義された関数とし、微分可能で、かつ定数関数でなければ、 ∫ydx + ∫xdy = x*y + C (Cは積分定数) [証明] 証明はいたって簡単で、x*yをxで微分し、xで積分すればできあがります。 (x*y)' = y + x*(dy/dx) (証明完) この式により、「関数の積分と逆関数の積分との間には1次式の関係がある」ということがわかります。 [その他の式]
x*y*yから
x*x*yから ができあがりますので、似ているような式はいくつでも作れます。なお、今の式で両辺にπをかけて、定積分で考えると、それぞれx軸回転体・y軸回転体の変換式になります。 [疑問点] 式の応用についてですが、「∫xdy が計算できなければ、∫ydx から求めることができる」と、こんな程度のことしか思いつきません。この他に、有効な利用方法がありましたら教えてください。 [雑感] 98年3月、∫ydx + ∫xdy = x*y となるかもしれない、とアイデアが浮かびました。しかし、たとえば高次の代数方程式で考えた場合、 ∫ydx は計算できる式 ですから、(計算できる式)+(計算できない式)=(計算できる式)という等式が成り立つわけで、不合理と思いました。 98年5月、実際に簡単な関数で計算してみたら、たまたま等式が成り立ちました。このことにより、∫ydx + ∫xdy = x*y となるだろう、と直感的に思いました。証明は数日後のことですが、証明を完成させてみたら、∫ydx + ∫xdy = x*y は、部分積分の応用であることが判明し、発見の感激は半減しました。ただ、「関数の積分と逆関数の積分との間には1次式の関係がある」という発見に対しては、自分のことながら感銘を受けています。結局、∫ydx + ∫xdy = x*y は「コロンブスの卵」のような式なんだろう、と思います。 [追記]
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