ｅ（自然対数）が無理数であることの証明

大学１年の解析学で学ぶ証明です。高校生でも理解できると思いますので、掲載いたします。 ｅX = 1 + X + X2/2 + X3/3！ + X4/4！ + ・・・・ を使って証明します。 ｅ = p/q （p qは互いに素な自然数）と仮定する。 0 < p/q - (2 + 1/2 + 1/3！ + ・・・ + 1/n！) = 1/(n+1)！ + 1/(n+2)！ + 1/(n+3)！ + ・・・・ < 1/(n+1)！ + 1/{(n+1)！*(n+1)} + 1/{(n+1)！*(n+1)2} + ・・・・ = 1/(n+1)！* {1 + 1/(n+1) + 1/(n+1)2 + ・・・・} = 1/(n * n!) n * n！ を掛けて 0 < n * n！* p/q - n * n！* (2 + 1/2 + 1/3！ + ・・・ 1/n！) < 1 この式から、ｎがどのような値であっても、n * n！/qが整数にならないため、ｑを自然数と仮定したことに矛盾する。 ｅは無理数である。

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