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平面は2次元、縦横高さのある空間は3次元です。数学科の3年頃には、「無限次元空間」という言葉が出てきます。そこで、この言葉を説明いたします。
[フーリエ級数] f(x)は区間(−π、π)で定義された関数とした場合、f(x)は以下のように記述できる。
f(x)=a0 + Σ(anCos(nx) + bnSin(nx))
なお [物理・工学系]
フーリエ変換・フーリエ積分を使って、さまざまな現象を数学的に解きあかします。波動・熱伝導・・等、新たな解析可能な分野が増えます。 [数学科] フーリエ変換・フーリエ積分が正しいかどうかが議論になります。そして、正しいと評価し、かつ他にチェビシェフ多項式・ルジャンドル多項式・エルミート多項式・・・、もあわせて、総合的に議論します。そしてその議論の中に、「無限次元空間」という言葉が出てきます。 フーリエ変換が正しいという証明は、ご自分で調べてください。私の持っている文献にはありませんが、学生時代にどこかで見た憶えがあります。 「無限次元空間」
∫f(x)Cos(nx)dx、∫f(x)Sin(nx)dx、という式に着目します。
υ、φ、をxの関数として、
この(υ、φ)というものは、高校数学に出てくる「内積」とまったく同じ性質があるので、(υ、φ)を関数の集合(別名:関数空間)の「内積」と扱うことができます。 |
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