代数方程式の一般解、そして抽象数学へ

[２次方程式] ２次方程式 の一般解は になります。 　[３次方程式] ３次方程式 の一般解は とおいて、 という式に変更します。（この方程式は解けます） ｐ、ｑから とおき、３乗根ωとの積で 、ω、ω2から１つ 、ω、ω2から１つ 選んで、積が−ｐ／３になるものを、改めて、 とおきます。 ３次方程式の一般解は、 x1=-b/3a++ x2=-b/3a+ω+ω2 x3=-b/3a+ω2+ω になります。 この解法を、「カルダノの解法」と言います。 　[４次方程式] 一般解を求める方法はありますが、自分で調べてください。 　[５次以上の方程式] 一般解を求める式は存在しません。 　[歴史] ５次以上の方程式の一般解が存在しないということを最初に証明した人は「アーベル」と「ガロワ」です。「アーベル」と「ガロワ」は、互いに研究しあったのでなく、まったく相手を知らずに独立して証明しました。 「アーベル」は体論を作り、代数的解法の不能を証明しました。 「ガロワ」は群論を作り、代数的解法が可能であるための必要十分条件を求めたことから、上記の不能を証明しました。 この２人の証明が、抽象数学の始まりと言っていいと思います。 　[高校生へ] ３次方程式・４次方程式の解法は、専門書に掲載されていますので、調べればわかります。 大学の数学科の授業においては、３次・４次方程式の解法を、教えてくれません。「自分で勉強しろ」です。代数の講義で、５次以上の方程式の一般解が存在しないという理論、代数的可解性の必要十分条件を教えてくれます。 　[最後に] 抽象数学の最初に出てくる、群（ぐん）の定義を掲載いたします。なお、私は群の定義さえ忘れてしまいましたので、専門書の中からの抜粋です。 群の次は、環（かん）、体（たい）の定義ですが、それは自分で調べてください。 群 Ｇを空でない集合とし、Ｇ×Ｇ→Ｇへの写像が与えられたとします。 Ｇ×Ｇの元(a b)に対応するＧ元を、a・bと書くことにします。 そして、下の３つの条件を満たすとき、Ｇは算法・で群とよばれます。 １．Ｇのすべての元a b cに対し、 (a・b)・c　＝　a・(b・c) ２．Ｇに１つの元eが存在し、Ｇのすべての元aに対し、 e・a　＝　a・e　＝　a ３．Ｇの任意の元aに対し、 b・a　＝　a・b　＝　e を満たすＧの元bが存在する。 １．のことをを結合法則、２．のeを単位元、３．のbを逆元と言います。 算法・を、＊と書く場合は乗法群、＋と書く場合は加法群と言います。 群Ｇの任意元a bで、a・b　＝　b・a　ならば、可換であると言い、Ｇは可換群とよばれます。 例 整数全体の集合は加法について群になります。 説明するにはたいへんなので名称のみ記載しますが、他に、アーベル群・置換群・対称群・巡回群・・・などがあります。

不等式 関数 図形と方程式 軌跡と領域 微積分―整関数 公式集

「こだわりハウス」写真館| 数学公式集| ピンポイントストリートビュー| ＦａｃｅＢｏｏｋ| Excel Vba テクニック集| Excel 計算式解析・他解析| 富山の建築家| Excel 計算式解析・他解析| 積分の定義・積分の記号の意味の研究|