εδ法（エプシロン・デルタ法）

ＸＹ平面上で、関数Ｙ＝Ｆ（Ｘ）があって、Ｘでの微分係数は、 で定義されます。 さて、この式の「ｈ→０」とは、「ｈを０に近づける、ただしｈ＝０とおいてはいけない」という意味です。 ここで、｜ｈ｜＝１／ｎ（ｎは自然数）、とおきます。 「ｈ→０」は、「ｎ→∞」にすることと同値です。 「ｎ→∞」についてです。「自然数は無限集合」と頭で理解できますが、「自然数をすべて列挙しなさい」ということは現実的に不可能です。つまり、「ｎ→∞」は哲学的な解釈です。同様に「ｈ→０」についても同じです。 そこで、数学的な厳密さが要請されて、「無限」という概念を使わないεδ法の登場です。 εδ法では、 と記述し、読み方は、 「任意のεに対し、あるδが存在し、｜ｈ｜＜δならば、｜・・・｜＜ε」です。 次に、εδ法の意味を説明します。簡単にするため、「関数Ｆ（Ｘ）が連続である」という意味の の場合で説明します。 図にすると、下記のようになります。 「任意のεに対し」の「ε」とは、ε＝６００でもよいし、ε＝２でもいいのです。通常は、ε＝０．００１３とかε＝１０−２３のような微小な値を意味します。「あるδが存在し」とは、「｜・・・｜＜ε」を満たすような「Ｘ」の範囲（Ｘ−ｈ Ｘ＋ｈ）があって、ｈは｜ｈ｜＜δを満たす、ということです。 たとえば、下図のように点Ｘで不連続ならば、 Ｘの近く（近傍）で、十分に小さいεに対し、「Ｘ」の範囲（Ｘ−ｈ Ｘ＋ｈ）で、｜Ｆ（Ｘ）−Ｆ（Ｘ＋ｈ）｜＜εとなるようなＸは存在しないので、δを定義することはできません。

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